Penso que a expressão quatro costados tem origem no nome dado à árvore genealógica de ascendentes, também conhecida por árvore de costados ou árvore inversa, a árvore formada pelos antepassados: pais, avós, bisavós, etc. de um indivíduo.

Quando alguém é considerado «de quatro costados», é-o «por parte dos avós paternos e maternos», conforme definição no Dicionário Houaiss (Português do Brasil), que passo a citar: «de quatro c. [costados] pelos dois avós paternos e pelos dois maternos (nobre de quatro c.)». Entretanto, este termo generalizou-se na língua e passou a aplicar-se com um sentido próximo dos adjectivos «ferrenho» e «arreigado».

N.E. – Segundo o Dicionário de Expressões Populares Portuguesas de Guilherme Augusto Simões (Publicações Dom Quixote, Lisboa), a expressão "de quatro costados" tem que ver com: «Referências à genuinidade de uma pessoa, verdadeiramente natural de ascendência ou de localidade».