Bissexto vem da palavra latina bisextu, que significa «o dia intercalar nos anos bissextos» [in Dicionário Etimológico da Língua Portuguesa, de José Pedro Machado, ed. Livros Horizonte, Lisboa]. “s.m. O dia que, de quatro em quatro anos, se junta ao mês de Fevereiro. Adj. Diz-se do ano em que o mês de Fevereiro tem vinte e nove dias. – O ano, entre os Romanos, tinha 365 dias; mas, como a Terra gasta aproximadamente 365 dias e ¼ na sua translação anual à volta dos Sol, as 6 horas restantes tinham, no tempo de César, produzido divergência entre o ano vulgar e os movimentos celestes. Sosígenes, astrónomo de Alexandria, chamado por César a Roma para remediar aquela divergência, estabeleceu que o ano comum tivesse 365 dias, três vezes sucessivas, e 366 a quarta. O dia intercalar juntou-se a Fevereiro, que, portanto, tem 29 dias de quatro em quatro anos, tornando bissexto o ano. Qualquer ano, cuja expressão numérica é exactamente divisível por quatro, é bissexto: 1892, 1896, 1904, 1908, etc. Os anos seculares não são bissextos, excepto quando os dois primeiros algarismos são exactamente divisíveis por quatro: 1600, 2000, 2400, 2800, etc. Por isso, 1900 não foi bissexto.” [in Dicionário Lello Prático Ilustrado, Porto]

Obs. - No Brasil, o adjectivo bissexto também é usado para o escritor de produção literária escassa, lembrando por isso os anos bissextos.

N.E. (07/01/2020) – Foi corrigida a primeira frase da resposta: onde se lia «Bissexto vem da palavra latina bisextu, que significa tardio» passou a ler-se «Bissexto vem da palavra latina bisextu-, que significa "o dia intercalar nos anos bissextos"». Sobre a origem de bissexto, transcrevem-se a explicação de de Frederico Lourenço, na sua Nova Gramática do Latim (Lisboa, Quetzal, 2019, p. 416):

«Ainda hoje usamos "ano bissexto", já usado pelo romanos para designar um ano em que o mês de fevreiro tinha mais um dia. Na contagem romana, de quatro em quatro anos o dia sexto antes das calendas de março era contado duplamente: era, assim, o dia bissexto (diēs bissextus), que ocorria num ano chamado, por isso, bissexto (annus bissextus ou annus bissextīlis).

Esse dia sexto antes das calendas de março dizia-se em latim ante diem sextum Kalendās Mārtiās, abreviado para a.d. VI Kal. Mārt.

Que dia será esse em nomenclatura moderna? Trata-se do dia 24 de fevereiro.»

Sobre o calendário romano, ler também "O calendário e os meses do ano", de Maria Regina Rocha.