Os verbos que pedem predicativo do sujeito são, principalmente, ser, estar e ficar e outros, desde que não estejam com valor activo, como por exemplo, andar, aparecer, continuar, morrer, permanecer, sair, viver e outros.
O verbo partir, na frase apresentada, é um verbo de acção. Conclusão: o vocábulo apressado não pode ser predicativo do sujeito.
O vocábulo apressado indica o modo, a maneira como ele partiu, em determinada circunstância. Podemo-lo, até, substituir por um advérbio de modo:
Ele partiu apressadamente.
Conclusão: apressado desempenha a função sintáctica de complemento circunstancial de modo da forma verbal partiu. Ou, conforme a nomenclatura gramatical brasileira, a função de adjunto adverbial de modo.