São sinónimos. Estadia só é mais moderna porque é formada de estada com o sufixo -ia. Mas, como quase todas as palavras sinónimas, há casos em que uma é preferível à outra; estadia, por exemplo, é normalmente a única empregada como termo da marinha mercante («É de uma semana a estadia do paquete no porto de Lisboa.»), enquanto estada aplica-se ao tempo de permanência de uma pessoa num lugar («Durante a sua estada no Porto, João ficou alojado em casa de amigos.»).

É verdade que o uso indistinto de ambas as palavras diluiu a diferença semântica, mas não se recomenda a quem preze a propriedade vocabular da nossa língua.