Obrigado vem do latim «obligatu-», particípio passado do verbo «obligare», «ligar; empenhar; comprometer». Também em italiano já antigo (séc. XVIII-XIX) se dizia «obbligato», com o mesmo sentido e origem (p. ex., na ópera «O Barbeiro de Sevilha»). Se houve influência entre obrigado e «arigatô», foi do português no japonês, mas tal não está provado. Além de significar «forçado», «constrangido», também quer dizer reconhecido, grato, agradecido. Perante um favor, fica-se obrigado(a), sem que ninguém obrigue ninguém.

Obrigado(a), em português, é o adjectivo verbal ou particípio passado do verbo obrigar que varia em género (feminino, masculino) e em número (singular plural), de acordo com o sujeito a que se refere:

Obrigado – utilizado por falantes do sexo masculino;

Obrigada – utilizado por falantes do sexo feminino;

Obrigados – utilizado por um grupo de falantes do sexo masculino ou feminino e masculino;

Obrigadas – utilizado por um grupo de falantes do sexo feminino.

Quem se sentir dominado pela hesitação que diga bem haja, forma de agradecimento muito corrente no Norte de Portugal.

N.E. Em 12/01/2018, recebemos do nosso consulente Giovanni Saponaro um novo contributo sobre este assunto, o que muito agradecemos:

 [...] Na vossa resposta lê-se:

«Se houve influência entre obrigado e «arigatô», foi do português no japonês, mas tal não está provado.»

A afirmação, escrita dessa forma, pode induzir em erro. Não só não está provado, como está provado o contrário. Isso de obrigado-arigatō é uma lenda urbana sem fundamento linguístico e histórico, mas infelizmente ainda comum em Portugal. 

Acontece que a palavra japonesa «arigatō» é atestada desde o princípio de 1400. Deriva do adjetivo "arigata(sh)i", presente nos antigos poemas Man'yōshū http://en.wikipedia.org/wiki/Man'yōshū que datam ao ano 759, muito antes de qualquer contacto dos japoneses com Portugal. 

Os portugueses estiveram no Japão durante o período 1543-1638.

No entanto, existem sim outras palavras japonesas de origem portuguesa, como por exemplo "pan" (pão), "tempura", "tabako". 

Fontes:

* respostas anteriores no Ciberdúvidas: https://ciberduvidas.iscte-iul.pt/consultorio/perguntas/o-portugues-no-japao-outra-vez/4387

* FAQ do grupo de discussão sci.lang.japan: http://www.sljfaq.org/afaq/arigatou.html

* muitas explicações detalhadas na internet, por exemplo a seguinte do prof. Gerald B. Mathias (autor de muitos livros sobre a língua japonesa): http://tinyurl.com/arigatou-gozaimasu