A forma mais correta é «passar no exame», conforme se regista no dicionário da Academia das Ciências de Lisboa:

«ir a exame; apresentar-se a exame; fazer exame; preparar-se para o exame; estudar para o exame; ficar aprovado no exame; ficar reprovado no exame; passar no exame; chumbar no exame»

A frase mais correta é, portanto, «Quase todos os camaradas da sua classe passaram no exame na escola Morais».

No entanto, não é de todo impossível dizer ou escrever «passar o exame», assim como se diz e escreve «passar a ponte».