Penso que pretende saber a classe gramatical e não a função sintáctica de cada que. Vou tentar esclarecê-la:

1. «Que agradável manhã!» — Determinante; insere-se na subclasse dos determinantes interrogativos, mas tem valor exclamativo. Poder-se-ia considerar um determinante exclamativo, mas as gramáticas não contemplam esta subclasse.

2. «Tenho que ir à cidade.» — Este que não se insere em nenhuma das subclasses próprias da palavra, porque a frase, embora muito usual, sintacticamente não é a mais correcta, a menos que se substitua o que pela preposição de: «Tenho de ir à cidade.» No Dicionário Houaiss, entrada ter, GRAM. b), considera-se que este que «tem valor como que prepositivo», ou seja, tem valor de preposição. Se se usar, em vez de que, a preposição de, a classificação gramatical já não levanta problemas.

3. «Há nela um quê de atraente.» — Nome masculino singular, por isso vem antecedido do determinante artigo indefinido um. A expressão um quê pode ser substituída por alguma coisa (= determinante indefinido + nome).

4. «Haverá sempre necessidade de que o povo fiscalize as acções dos políticos.» — Conjunção subordinativa integrante; a conjunção integrante pode vir, por vezes, antecedida da preposição de, pedida pela expressão de que depende (haver necessidade de);

5. «Só desejamos uma coisa: que a nova geração seja melhor que a anterior.» — Conjunção integrante. É como se estivesse «Só desejamos que (…)». A expressão uma coisa é o complemento directo de desejamos; a oração iniciada pela conjunção integrante que é o aposto de uma coisa.