O verbo dar é riquíssimo pela variedade de construções que permite. Para além de intransitivo («Assim não dá»), transitivo directo («Isto dá sorte»), transitivo directo e indirecto («Deu um carro ao filho»), pode ainda ser transitivo preposicionado ou oblíquo, acompanhado de diversas preposições e veiculando vários sentidos. Registam-se apenas alguns:
dar a – chegar, orientar-se para: «Esta rua vai dar ao rio»
começar: «deu a correr» (Br.)
dar com – encontrar: «Dei com o gato»
condizer: «A saia dá com a blusa»
bater: «Dei com o cotovelo na porta»
dar de – começar: «Deu de correr» (Br.)
dar em – tornar-se: «Deu em doido»
incidir: «O sol dá no quarto toda a manhã»
(não) resultar: «O caso deu em nada»
começar, mudar: «Deu em mentir»
bater: «O navio deu num rochedo»
dar para – chegar, ser suficiente: «O ordenado dá para viver»
começar: «Agora deu para aborrecer toda a gente» (pop.)
ter jeito para: «o rapaz dá para a música»
servir: «Esta farinha dá para bolos»
estar virado para: «Esta janela dá para o mar»
dar por – considerar: «Deu a obra por acabada»
notar: «Todos deram pela sua falta»
Em alguns casos pode vir acompanhado de um dativo que poderemos considerar ético: «Deu-lhe para correr».
Pode, além disso, surgir pronominalizado, com diversos sentidos:
dar-se conta – reparar
dar-se a – acontecer em: «A revolução dos cravos deu-se a 25 de Abril»
dar-se ao trabalho – dedicar-se
dar-se com – conviver
adaptar-se: «Dá-se bem com o calor»
dar-se em – acontecer em: «A revolução dos cravos deu-se em Abril»

Como pode verificar pela lista (incompleta) das possibilidades de construção do verbo dar, muitas são as preposições que com ele ocorrem. Relativamente às duas frases que submete à apreciação do Ciberdúvidas, a primeira («Dá de sair mais cedo») apenas a encontrei documentada em textos brasileiros, pelo que julgo que talvez seja mais característica do português do Brasil. A segunda construção («Dá para sair mais cedo») aparece documentada em textos dos dois lados do Atlântico. Podendo ocorrer também com um dativo ético: «Dá-lhe para sair mais cedo.»