O verbo competir pode ser:

– Transitivo preposicionado, ou oblíquo, com o sentido de «concorrer a um mesmo lugar ou posição que outros»: «O João compete com os colegas pelo melhor lugar.»
– Intransitivo, com sentido próximo do anterior («querer ou lutar pelas mesmas coisas que outrem»): «Os dois amigos competiam muito.»
–  Transitivo indirecto, significando ser direito ou atribuição de alguém: «Compete ao João fazer este trabalho.»

Nos dois primeiros exemplos que apresenta, o verbo é transitivo indirecto, desempenhando «me», ou a locução pronominal «a mim» (equivalente à anterior), a função de objecto indirecto e designando a pessoa que tem a atribuição de realizar determinadas actividades. No entanto, sempre que o objecto indirecto é representado pelo pronome oblíquo (a mim, a ti…), é norma proceder-se à repetição do pronome me antes do verbo, pelo que, no segundo exemplo, falta esse pronome:

«… o desenvolvimento das atividades e responsabilidades que me competem a mim.»

No terceiro caso, creio que o verbo apropriado, na linguagem comum, é atribuir e não competir.

«… actividades e responsabilidades que me foram atribuídas por esta instituição.»

Ou seja, a instituição tem competência para atribuir funções; àqueles a quem as funções foram atribuídas, compete desempenhá-las.

Dos três exemplos que apresenta, o primeiro está correcto, o segundo carece da repetição do pronome, tal como acabo de referir, e, quanto ao terceiro, proponho a alteração que registei acima, substituindo o verbo competir por atribuir e fazendo as alterações que as características do verbo implicam.