Sim, podemos começar uma frase com a conjunção e.

De entre os vários contextos de utilização desta conjunção coordenativa, Maria Helena de Moura Neves refere, na Gramática de Usos do Português, que as frases ou enunciados podem ser também os elementos coordenados por e:

«Nada mais o atingia. E raramente utilizava o relógio.»

Optar por iniciar uma frase com a conjunção e – ou, noutra perspetiva, separar com um ponto final duas frases ligadas por uma conjunção – tem que ver com valores estilísticos, prosódicos e semânticos, servindo, sobretudo, para realçar relações de contraste (a), de causa-consequência (b) ou de adição (c) entre os dois elementos:

a) «Eu disse que sim. E a minha mulher disse que não!»

b) «Ela morreu. E eles ficaram com a casa!»

c) «Eu fiz uma radiografia. E fiz uma ecografia! [Mas o resultado foi o mesmo.]»