A frase apresentada não é aceitável do ponto de vista normativo.

O nome comum dúvidas regre uma preposição, que poderá ser de, em ou sobre (ou sinónimos):

(1) «Tenho dúvidas de que ele venha.»

(2) «Tenho dúvidas em ir ao cinema contigo.»

 (3) «Tenho dúvidas sobre a qualidade desta música.»

Quando o nome dúvidas é seguido de uma oração completiva introduzida pela conjunção que, a preposição de pode ser omitida¹:

(1a) «Tenho dúvidas que ele venha.»

Ora, no caso da frase em apreço, poderemos verificar que estamos perante um caso de elisão da preposição sobre:

(4) «Ficou com dúvidas sobre se estava a fazer o certo.»

Pelo paralelismo com a possibilidade presente em (1a), poderemos afirmar que nos usos informais esta supressão da preposição tem lugar. No entanto, do ponto de vista formal, é aconselhável usar sempre a preposição para manter a estrutura sintática do nome dúvidas.

Alias, se analisarmos uma construção do nome dúvidas seguido não de oração mas de um sintagma nominal, confirmamos a necessidade da preposição²:

(5) «Ficou com dúvidas sobre a correção da sua ação.»

(5a) *«Ficou com dúvidas a correção da sua ação.»

Disponha sempre!

*assinala a agramaticalidade da construção. 

1. Cf. Celso Luft, Dicionário prático de regência nominal. Ed. Ática, pp. 189-190.

2, Cf. Peres e Móia, Áreas críticas da língua portuguesa. Caminho, pp. 112-113.