O que está registado no Dicionário de Expressões Populares Portuguesas, de Guilherme Augusto Simões, é: Não dar a bota com a perdigota. Significa «não jogar certo; haver acentuada diferença». Também aparece assim registado na obra Novos Dicionários de Expressões Idiomáticas de António Nogueira Santos, com significados semelhantes.Por outro lado, o Dicionário de Expressões Correntes de Orlando Neves regista a expressão desta forma: Não dar a bota (cota) com a perdigota.

Nenhum destes dicionários dá conta da origem expressão.

Em conclusão: pode dizer-se, parece-me, das duas maneiras, mas a forma usual é: Não dar a bota com a perdigota.