No caso em apreço, ambas as formas adverbiais estão corretas e são sinónimas.

Geralmente ocorrem com verbos ou construções que indicam movimento: «entrou pela casa adentro/dentro», «entrou paredes adentro/dentro».

Há quem considere que a forma adentro é uso clássico, e uma consulta da secção histórica do Corpus do Português confirma que adentro ocorria com maior frequência do que dentro na expressão «portas adentro/dentro», sem que se detete diferença semântica.

Não é de excluir que adentro, sem deixar de evocar a língua mais antiga, conote um estilo popular na expressão. É que acontece com variantes mais ou menos aceites como amandar, alevantar ou abaixar, fazendo com a prótese do a em adentro torne a predicação mais expressiva, acentuando um movimento brusco, de intenção agressiva.

Encontra-se igualmente a forma «a dentro», como escrevia Vasco Botelho de Amaral (no seu Dicionário de Dificuldades e Subtilezas do Idioma Português), mas a forma atual é adentro. No dicionário da Academia das Ciências de Lisboa, regista-se em subentrada a dentro a expressão «portas a dentro», com «a dentro» escrito como locução, com o significado de «no interior de casa; no seio da família ou do grupo» – «Essas discussões têm-se portas a dentro»). Este é, no entanto, um registo que pode estar por engano, uma vez que adentro e dentro são as grafias que prevalecem noutros dicionários (cf. Infopédia, Priberam, Aulete).

Nesta discussão, cabe ainda referir o advérbio semanticamente converso fora, que tem a variante afora, esta muito menos corrente atualmente, mas também de veia popular.