Como palavra invariável, o advérbio mesmo tem valor enfático (é um marcador discursivo) e interpreta-se como «exatamente» ou «precisamente». É usado frequentemente com advérbios e expressões adverbiais de tempo, como aponta o Dicionário Houaiss:

«[como vocábulo cujo papel vai além das relações sintático-semânticas contidas na oração, denota] [...] tempo enfático, seguindo-se a agora, hoje, ontem etc.; "neste exato instante"; "exatamente"; ex.: "agora mesmo está arrependido de ter interrompido a viagem"; "hoje mesmo ele foi ao cinema".»

Note que a expressão «aquela manhã mesmo» ocorre em discurso indireto (ou relato de  discurso), o que permite pensar que a completiva «que iria à escola aquela manhã mesmo» corresponde à seguinte frase em discurso direto: «vou à escola esta manhã mesmo».

Quanto à concordância de mesmo, usado como pronome demonstrativo, na perspetiva da norma-padrão, ela é possível, mas a ordem na frase é diferente, além de que o significado da expressão se altera ligeiramente no discurso indireto e fica estranho no discurso direto:

1. «Disse que iria à escola aquela mesma manhã.»

2. ? «Vou à escola esta mesma manhã.»

A frase 1 é equivalente a «Disse que iria à escola na mesma manhã», presumindo-se que o sujeito da oração tivesse outras tarefas a realizar nessa manhã. Já a frase 2 é estranha, porque «esta manhã» se comporta como uma expressão fixa, sem aceitar a junção de outras palavras e sendo globalmente equivalente a um advérbio («vou à escola hoje»).

É possível que o advérbio mesmo seja usado com concordância, no feminino, como desvio, à maneira de meio, que também ocorre incorretamente no feminino em expressões do tipo de «ela está meia perdida». Trata-se, contudo, de situações não aceites pela norma-padrão.