1. Relativamente à frase «Aconselhei-a a não sair de casa»:
A preposição deve acompanhar o sintagma ou frase a que pertence.
Assim, teremos:

Aconselhei-a – Oração subordinante
a não sair de casa – Oração subordinada substantiva infinitiva

A oração subordinada constitui o complemento indirecto da subordinante:

Predicado: aconselhei-a
Sujeito: eu
Complemento directo: pronome pessoal a (a pessoa)
Complemento indirecto: a oração subordinada substantiva infinitiva a não sair de casa

2. Relativamente às frases «Estou cansado, senão ainda íamos trabalhar» e «Se não estivesse cansado, ainda íamos trabalhar»:

O sentido das frases é certamente idêntico, mas, para efeitos de classificação de orações, tem de se ter em conta o elemento de ligação entre elas. É esse elemento que determina se se trata de orações coordenadas ou se existe uma subordinante e uma subordinada, bem como a classificação da oração introduzida por esse elemento.

Assim:

Senão introduz uma oração coordenada alternativa (marca uma ideia de incompatibilidade; indica que, ao cumprir-se um facto, o outro não se cumpre).
Se introduz uma oração subordinada condicional (indica uma condição necessária para que o facto principal se realize ou não).

A divisão e classificação das orações é a seguinte:

1.º exemplo:

Estou cansado: oração coordenada (1.º termo da coordenação)
senão ainda íamos trabalhar: oração coordenada alternativa

2.º exemplo:

Se não estivesse cansado: oração subordinada condicional
ainda íamos trabalhar: oração subordinante