Ambas as expressões estão corretas, o que difere é o significado.

Quando nos referimos à «prossecução de objetivos» falamos do ato de continuar ou prosseguir os objetivos. Por outro lado, referir «persecução de objetivos» prende-se com o envidamento de esforços para a realização de determinados objetivos. Vejam-se os seguintes exemplos:

(1) «Para prossecução destes objetivos, a Câmara Municipal irá disponibilizar um espaço físico digno.»

(2) «Os adolescentes têm papel crucial para a persecução dos objetivos traçados pelo certame.»

Em (1) percebemos que, para a Câmara Municipal levar avante os seus objetivos, irá disponibilizar um espaço físico digno. Já em (2), declara-se que os jovens devem empenhar-se em conseguir alcançar os objetivos propostos para o certame.