A expressão «à árvore» não é complemento direto de «trepar», porque aparece introduzida por preposição, não podendo ser substituída pelo pronome pessoal o (o asterisco indica agramaticalidade):

1. «Trepou à arvore.»

2. *«Trepou-a.»

Trata-se, sim, de um complemento oblíquo, visto ser realizado por um grupo preposicional. Note-se que este grupo não é substituível pelo pronome dativo lhe, não se confundindo, portanto, com um complemento indireto (cf. Dicionário Terminológico):

1. «Trepou à árvore.»

2. *«Trepou-lhe.»

Se 2 pressupuser 1, a ocorrência de lhe não é aceitável, dado que este pronome não pode substituir «à árvore», um complemento oblíquo.