De acordo com os dicionários consultados, demitir significa destituir de um cargo ou dignidade, exonerar, despedir; e como verbo reflexo pedir a demissão, renunciar a.

Despedir quer dizer mandar embora, licenciar, mandar sair ou retirar, dispensar os serviços, soltar, lançar, despachar, aviar; e na forma reflexa fazer as despedidas, dizer adeus, ir-se embora.

Como vê, as acepções, mesmo sem ser exaustivo, são várias, mas o exemplo que apresenta, dado o contexto, parece-me aceitável. Ainda, numa empresa ou instituição, um empregado pode ser demitido de determinadas funções e não significa que foi despedido dessa mesma empresa ou instituição. Igualmente, um empregado quando diz ao patrão "eu despeço-me" pode querer dizer pelo menos duas coisas: vai-se embora para sempre ou vai somente de férias, passar o fim-de-semana, etc.