No primeiro caso, a melhor construção é «eu avisei alguém de que chegaria tarde» e, no segundo, «os media alertaram os idosos para que devem ficar em casa...» ou «os media alertaram os idosos para que fiquem em casa...».

Com base em Winfried Busse, Dicionário Sintático de Verbos Portugueses (Coimbra, Almedina, 1994), é possível descrever a sintaxe destes dois verbos do seguinte modo (exemplos retirados da fonte consultada, com adaptações):

1. Alertar

1.1. «alertar alguém»: «Vocês vieram aqui para nos alertar [...].»

1.2. «alertar alguém de alguma coisa»: «[...] ele devia ter uma espécie de radar que funcionava mesmo durante o sono e o alertava dos perigos.»

1.3. «alertar [alguém] para alguma coisa» (é opcional o complemento direto — referente à pessoa alertada): «Alertei as pessoas para a ilegalidade que estavam a cometer»; «O primeiro-ministro alertou para a necessidade de combater o insucesso escolar.»

1.4. «alertar alguém [para] que...» (seguido de oração completiva finita com o verbo no conjuntivo; é opcional a preposição para): «Alertei-os (para) que prestassem atenção aos intrusos.»

N. B.: No entanto, o verbo alertar também pode ocorrer com uma completiva finita com o verbo no indicativo, como se verifica no Corpus do Português de Mark Davies e Michael Ferreira: «[...] Antônio Carlos Magalhães [...] alertou que a emenda da reeleição não significa recondução automática dos governantes [...].» Neste caso, trata-se de um sinónimo de avisar (ver infra), sendo permutável com este («ele alertou/avisou que a emenda não significa recondução automática dos governantes»).

1.5. «alertar alguém para...» (seguido de oração completiva de infinitivo ou não finita): «Alertei-os para saírem rapidamente.»

Assinale-se que, na frase apresentada pelo consulente, o uso do conjuntivo depois de alertar torna dispensável o verbo dever na oração completiva: «(para) que fiquem». O uso do verbo dever nesse contexto é de evitar (*«alertar para que devam ficar em casa» — o asterisco indica agramaticalidade), porque se torna redundante; com efeito, quando se diz que «alguém alerta uma pessoa para que fique em casa», o valor de permissão ou obrigação (valor deôntico; cf. Dicionário Terminológico, B.6.4. Valor Modal) já é inerente à forma verbal de conjuntivo, pelo que se dispensa o auxiliar modal dever.

2. Avisar

2.1. «avisar [alguém] de alguma coisa» (é opcional o complemento direto nominal): «se algum dia for a França, avise-me [disso].»

2.2. a) «avisar que...» (seguido de oração completiva finita de indicativo): «A polícia avisava que a recusa de Spaggiari em indicar nomes significava inevitavelmente uma condenação mais longa»; b) «avisar alguém de que...» (seguido de oração completiva fini; cf. verbo informar): «Devo avisá-lo honestamente de que terei de chamar outro colega [...].»

2.3. «avisar [alguém] para...» (seguido de oração completiva de infinitivo ou não finita; é opcional o complemento direto — referente à pessoa que é avisada): «Avisaram-nos para levarmos o fato de banho [...].»

2.4. «avisar [alguém] contra alguma coisa» (é opcional o complemento direto — a pessoa que é avisada): «Avisei-o contra as más condições atmosféricas [...].»