As duas expressões podem ser usadas como sinónimas.

De acordo com o Dicionário da Língua Portuguesa, da Academia das Ciências de Lisboa, a palavra lide pode ser usada com as seguintes significações: «luta, combate; questão entre duas ou mais pessoas, submetida à apreciação e decisão de um juiz, de um tribunal; atividade que se destaca pela defesa empenhada de determinados princípios políticos ou de certos interesses partidários; tauromaquia, toureio; qualquer trabalho que exija esforço, que cause fadiga, canseira». É no âmbito desta última significação que a expressão «lide doméstica» se enquadra.

A palavra lida, por seu turno, pode ser usada no sentido de «qualquer trabalho que exija esforço, que cause fadiga; ato ou efeito de lidar». Por esta razão, é também possível usá-la na expressão «lida doméstica».

As palavras lida e lide têm origens diferentes: lide vem do latim lis, litis, ao passo que lida é uma palavra formada por derivação não afixal com base no verbo lidar¹. Não obstante, assumiram sentidos semelhantes, que, em sincronia, podem ser usados de forma indistinta.

Disponha sempre!

1. Cf. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa.