A locução disjuntiva nem… nem pode ter dois sentidos:
Exclusivo: «Nem sei se fico, nem se parto»
Inclusivo: «Nem o João nem a Maria nos escreveram.»
É esta segunda situação que se verifica na frase que submete à apreciação do Ciberdúvidas. Estamos perante uma locução que relaciona os dois nomes constituindo um sujeito complexo, o que vai implicar o uso do verbo no plural.
O que é surpreendente na sua frase é o facto de, contra todas as regras gramaticais, admitir duas conjunções e e nem uma juntinho à outra. Se, por um lado, essa co-ocorrência reforça os argumentos que nos permitem defender que estamos perante um sujeito composto por duas entidades, por outro, talvez enfraqueça o valor conjuncional de nem, fazendo prevalecer o valor adverbial que esta palavra também possui.
Em síntese, a frase correcta em português do Brasil é «Nem João e nem Cláudio vão à festa». Em português europeu, porque a norma portuguesa prevê o uso do artigo antes dos nomes em frases como esta, a frase correcta seria «Nem o João e nem o Cláudio vão à festa».