Na frase em apreço, o verbo jurar ocorre como transitivo directo, tendo, além disso, um complemento que, na tradição gramatical de Portugal, costuma ser denominado circunstancial. Num primeiro nível de análise poderemos isolar os seguintes constituintes desta frase: 

Sujeito — «ele» (subentendido)

Predicado — «jurou que não tomaria a bebida»

Complemento directo — «que não tomaria a bebida»

Complemento circunstancial — «pela alma da mãe»

Se, do ponto de vista sintáctico, a proposta de análise me parece adequada, já tenho maior dificuldade em interpretar, ou melhor, rotular o complemento «pela alma da mãe» do ponto de vista semântico. Ele intensifica o compromisso assumido, através de uma espécie de invocação. A entidade invocada não é bem um meio para que possamos dizer que é complemento circunstancial; também não é um instrumento, ou talvez seja, pelo menos em parte.