Na frase apresentada pela consulente, da consiste na contração da preposição de com o artigo definido a.

Nesta frase, o da introduz o sintagma preposicional «da Cátia» e desempenha, em conjunto com este sintagma, a função sintática de complemento do nome, na medida em que é selecionado pelo nome mãe. Os complementos do nome são constituintes importantes para que a realidade sobre a qual se tenciona falar seja representada de forma evidente, como se assinala nesta resposta da consultora Carla Marques.

Na frase já mencionada, ao utilizar-se o nome mãe, percebe-se que este necessita de um complemento para referir toda a realidade, uma vez que mãe é sempre de alguém. Todavia, é possível utilizar estes nomes que pedem complemento de modo isolado, levando a frase a ficar com um sentido mais genérico, como se observa em (1).

(1)    A casa branca e cinzenta é nova, pertence à mãe.

Para além disto, os nomes de parentesco, como é o caso de mãe, pedem por norma complemento.