O tema em questão é um tanto complexo, porque envolve uma forma, Daesh, que, por um lado, é uma palavra recebida por via inglesa, e, por outro, constitui uma das transliterações possíveis de uma abreviação do árabe. Simplificando, diga-se que a grafia Daexe (lida "dá-eche") é uma adaptação, adequada e já em uso, da forma anglicizada Daesh, pois é coerente com os critérios etimológicos da ortografia do português, tal como esta tem sido concebida desde a Reforma Ortográfica de 1911. Como se explicará adiante, é possível escrever "Daixe" (sem acento), mas trata-se de grafia que não tem tido circulação nem aparece recomendada em âmbitos oficiais ou especializados.
Respondendo diretamente às perguntas:
1) A forma Daesh é que é muito corrente no mundo inglesa e constitui a anglicização do acrónimo árabe داعش, o qual, de acordo com Alfabeto Fonético Internacional (AFI), se transcreve foneticamente como [ˈdaːʕɪʃ] (cf. داعش no Wiktionary)1. A forma árabe também ocorre romanizada como dāʿiš, que se angliciza como variante de Daesh – Da'ish, de algum modo mais fiel à fonologia do acrónimo original. Esta variante inglesa pode ser aportuguesada como "Daixe" (sem acento), mas, para elaboração da presente resposta, não foi possível encontrar atestações desta possibilidade fonética e gráfica. Quanto à afinidade deste caso com o de Al-Qaeda, anglicização do árabe القاعدة, pode afirmar-se que há identidade na medida em que o aportuguesamento Alcaida, como "Daixe", trata como ditongo a sequência do alif e do aine1 das duas palavras árabes, conforme destacam os sublinhados: داعش ("Daixe") e القاعدة (Alcaida).
2) Se bem que a Fundéu BBVA aceite "Dáesh" para o espanhol, o dígrafo sh não tem tradição em português, pelo que se torna necessário encontrar a solução gráfica que melhor represente o som associado, geralmente transcrito como [ʃ] (o segmento marcado pelo x de baixo ou pelo ch de acho). A forma mencionada no artigo da Wikipédia é Daexe, a qual foi proposta pelo tradutor Paulo Correia no artigo "EIIL/Daexe – geografias e transliterações", publicado no n.º 50 (primavera de 2016) de a folha – Boletim da língua portuguesa nas instituições europeias. Sobre este caso de aportuguesamento planeado, o referido autor frisa que é grafia adotada pelo Grupo Interinstitucional de Terminologia Portuguesa (GITP), no âmbito da União Europeia, esclarecendo que «o "e" final no acrónimo português destina-se a desambiguar o valor do «x» final da palavra (cf. Marraquexe)»2. Note-se, porém, que com Daexe parece ficar ignorada a colocação do acento tónico, que, para ser fiel â tonicidade do acrónimo árabe e à das adaptações ao inglês e ao espanhol, teria de aparecer marcado sobre o a: "Dáexe" seria, portanto, um aportuguesamento mais coerente do ponto de vista acentual com o inglês Daesh e o árabe داعش.
Em suma, embora haja muitos pontos a discutir à volta deste tema, existe um aportuguesamento já em uso: Daexe. A dificuldade ainda existente na transposição de unidades lexicais do árabe em português, associada à dependência do inglês nessa transferência, deixa a ideia de a grafia encontrada ainda poder encontrar alternativas igualmente válidas.
1 Alife é o nome do grafema árabe ا, e aine, o de ع, que tem a forma ﻋ em posição gráfica inicial e ligada a outra letra à esquerda.
2 O acrónimo árabe داعش corresponde à seguinte denominação em árabe1:
لدولة الإسلامية في العراق والشام
A qual pode transliterar-se assim:
ad-Dawlah al-Islāmiyah fī 'l-ʿIrāq wa-sh-Shām
e significa:
«Estado Islâmico do Iraque e do Levante»
Informação recolhida no artigo da Wikipédia em inglês intitulado "Islamic State of Iraq and the Levant" e numa das suas fontes: Alice Guthrie, "Decoding Daesh: Why is the new name for ISIS so hard to understand?" [tradução: "Descodificando Daesh: porque é o novo nome do ISIS tão difícil de perceber?"] in Free Word, 19/02/2015.
