O constituinte «aos pais» tem, com efeito, a função sintática de complemento oblíquo.

O verbo recorrer pode construir-se com a sequência «a + pronome pessoal», como em (1), mas não aceita ser seguido de pronome pessoal clítico¹, como se verifica pela inaceitabilidade de (2):

(1) «Sempre que tem problemas, a Mónica recorre a eles.»

(2) «*Sempre que tem problemas, a Mónica recorre-lhes.»

A inaceitabilidade da construção do verbo com pronome lhe é confirmada pela Gramática do Português, onde se aponta que «a impossibilidade de *o Miguel recorreu-lhes ou *obriguei-lhe o João mostra que o complemento [«o Miguel recorreu a eles»] não é indireto»², e por Celso Luft, no Dicionário Prático de Regência Verbal, onde se pode ler «recorrer a ele (não *recorrer-lhe)» (p. 438)), entre outros.

Estas descrições indicam que o constituinte «aos pais» tem a função de complemento oblíquo e não de complemento indireto (que aceita ser substituído pelo pronome lhe(s))³.

Na segunda frase apresentada pela consulente, o constituinte «com aquela notícia» depende diretamente do adjetivo feliz, pelo que desempenha a função de complemento do adjetivo. A frase terá a análise que a seguir se apresenta:

(3) «[Ele]_sujeito estava [muito feliz [com aquela notícia]_{complemento do adjetivo}]_{predicativo do sujeito}».

Disponha sempre!

*assinala a inaceitabilidade da frase.

1. Para mais informações sobre a identificação do complemento indireto e do complemento oblíquo, cf. Gonçalves e Raposo in Raposo et al. Gramática do Português. Fundação Calouste Gulbenkian, pp. 1171-1173 e 1181-1183.

2. Idem, Ibid., p. 1172.

2. Note-se, porém, que, em certos contextos, o complemento oblíquo aceita ser substituído pela forma lhe, como se explica nesta resposta.